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球體體積公式的推導方式
球內(nèi)切于正方體，球的直徑等于正方體的棱長；正方體內(nèi)接于球，球的半徑等于正方體棱長的倍（即球體對角錢的一半）；棱長為 的正四面體的內(nèi)切球的半徑為，外接球半徑為。
2022-02-23 09:57:08永嘉博康閥門有限公司
1．球的體積公式的推導
基本思想方法： 先用過球心 的平面截球 ，球被截面分成大小相等的兩個半球，截面⊙ 叫做所得半球的底面．
（1）第一步：分割．
用一組平行于底面的平面把半球切割成 層．
（2）第二步：求近似和．
每層都是近似于圓柱形狀的“小圓片”，我們用小圓柱形的體積近似代替“小圓片”的體積，它們的和就是半球體積的近似值．
（3）第三步：由近似和轉化為精確和．
當無限增大時，半球的近似體積就趨向于精確體積． （具體過程見課本）
2．定理：半徑是 的球的體積公式為：
3．體積公式的應用
求球的體積只需一個條件，那就是球的半徑．兩個球的半徑比的立方等于這兩個球的體積比．
球內(nèi)切于正方體，球的直徑等于正方體的棱長；正方體內(nèi)接于球，球的半徑等于正方體棱長的倍（即球體對角錢的一半）；棱長為 的正四面體的內(nèi)切球的半徑為，外接球半徑為。也可以用微積分來求，不過不好寫
球體面積公式:
可用球的體積公式+微積分推導
定積分的應用：旋轉面的面積。好多課本上都有，推導方法借助于曲線的弧長。
讓圓y＝√(R^2－x^2)繞x軸旋轉，得到球體x^2+y^2+z^2≤R^2。求球的表面積。
以x為積分變量，積分限是[－R，R]。
在[－R，R]上任取一個子區(qū)間[x，x+△x]，這一段圓弧繞x軸得到的球上部分的面積近似為2π×y×ds，ds是弧長。
所以球的表面積S＝∫<－R，R>2π×y×√(1+y'^2)dx，整理一下即得到S＝4πR^。
基本思想方法： 先用過球心 的平面截球 ，球被截面分成大小相等的兩個半球，截面⊙ 叫做所得半球的底面．
（1）第一步：分割．
用一組平行于底面的平面把半球切割成 層．
（2）第二步：求近似和．
每層都是近似于圓柱形狀的“小圓片”，我們用小圓柱形的體積近似代替“小圓片”的體積，它們的和就是半球體積的近似值．
（3）第三步：由近似和轉化為精確和．
當無限增大時，半球的近似體積就趨向于精確體積． （具體過程見課本）
2．定理：半徑是 的球的體積公式為：
3．體積公式的應用
求球的體積只需一個條件，那就是球的半徑．兩個球的半徑比的立方等于這兩個球的體積比．
球內(nèi)切于正方體，球的直徑等于正方體的棱長；正方體內(nèi)接于球，球的半徑等于正方體棱長的倍（即球體對角錢的一半）；棱長為 的正四面體的內(nèi)切球的半徑為，外接球半徑為。也可以用微積分來求，不過不好寫
球體面積公式:
可用球的體積公式+微積分推導
定積分的應用：旋轉面的面積。好多課本上都有，推導方法借助于曲線的弧長。
讓圓y＝√(R^2－x^2)繞x軸旋轉，得到球體x^2+y^2+z^2≤R^2。求球的表面積。
以x為積分變量，積分限是[－R，R]。
在[－R，R]上任取一個子區(qū)間[x，x+△x]，這一段圓弧繞x軸得到的球上部分的面積近似為2π×y×ds，ds是弧長。
所以球的表面積S＝∫<－R，R>2π×y×√(1+y'^2)dx，整理一下即得到S＝4πR^。
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